Çeşitli hız ve enerjilere sahip moleküllerin sayısına ilişkin temel eşitlik Boltzmann Dağılımı ile verilir. Kinetik moleküler teori temel alan modele göre; gaz molekülleri çeşitli hızlarla ve çeşitli yönlere doğru hareket eder. Bu hızlar Şekil 1 de gösterilmiştir. Şekildeki herbir noktanın orjinden uzaklığı moleküler hızın büyüklüğü ile orantılıdır ve tüm yönlere doğru moleküler hızların dağılımı aynı olduğundan izotropik bir davranış gösterir.
Özel birr yöne doğru örneğin x yönündeki hız dağılımını araştırabiliriz. Eğer ile hız aralığındaki moleküllerin dN/N kesrini bulmalıyız. Şekilde öne doğru hareket eden moleküllerin hız pozitifken zıt yöne hareket eden moleküllerin hızı ise negatiftir. Bu hız aralığındaki moleküllerin kesri için;
kullanılır. Buradaki A orantı sabitidir. Bu sabitin değeri, eşitliğin sağ tarafının integralininden hareketle hesaplanabilir. hızının her iki yöndeki tüm olasılıkları arasında yer alacaktır. Bu nedenle bu hız aralığında dN/N değeri 1 olcaktır.
böylece hız sabiti için
yazılabilir. Bu eşitlikten A nın değeri
olarak hesaplanabilir. Sonuçta N molekülün x yönündeki hız dağılımına ilişkin
yazılabilir. Aşağıdaki şekilde azotun iki farklı sıcaklıktaki bir boyuttaki dağılımı verilmiştir.
Üç boyuttaki hız dağılımı için bir boyuttaki hız dağılımına benzer şekilde moleküllerin x, y ve z doğrultularındaki hız kesirlerini bulabilmek için - , - , - hız aralığındaki molekülleri dikkate almalıyız. Bu nedenle;
veya
yazılabilir. Yandaki şekildeki gibi bir hacim elemanı içerisindeki moleküler noktaların yoğunluğunu belirleyebiliriz. Bunlar u hızına sahip moleküllerdir. Çünkü bu küresel kabuğun hacmi 4pu2du kadar olup bu elementteki noktaların sayısı yukarıdaki eşitliğin 4pu2du/duxduyduz ile çarpılmasıyla elde edilir.Burada değişimi yapılırsa üç boyutlu hız dağılımı için
elde edilebilir.Aşağıda iki farklı sıcaklıkta N2 için Maxwell-Boltzmann dağılımı çizilmiştir.Düşük sıcaklıklarda moleküler hızlar dar bir aralıkta dağılırken, yüksek sıcaklıklarda aralık genişlemektedir. Ayrıca eğrilerin maksimum değerleri sıcaklığa bağımlı olarak değişmektedir.
Daha önce kinetik teoriden hareketle moleküler hızların hız kareleri ortalamalı karekökü hızının olduğunu göstermiştik. Moleküler hız dağılım eşitliğini kullanarak ortalama moleküler hızların nasıl değiştiğini hesaplayabiliriz. Bu amaçla;
yazarsak eşitliğin integralinin sonucu
verir. Sonuç olarak kinetik moleküler teori ile uygun olan eşitlik elde edilmiş olur.
Benzer şekilde ortalama hız, , değeri de benzer yaklaşımlarla
ve
şeklinde elde edilir. Bu hızlar dışında hız - olasılık grafiklerindeki maksimum olasılıklı hızı da belirleyebiliriz. Bu grafiğin maksimum değerine karşı gelir. Bunun için
fonksiyonun dc ye göre türevini sıfır yapan c değeri hesaplanmalıdır.
eşitliğin her iki tarafı
bölünürse
eşitliği elde edilir. Böylece maksimum olasılıklı hız için
bağıntısı elde edilir (1).