KİMYADA MATEMATİKSEL YÖNTEMLER

I. GİRİŞ

Çalışma sonucu elde edilmiş veriler değerlendirilmezlerse bilgiye dönüşmezler. Bunun yanısıra elde edilmiş verileri değerlendirmek için çeşitli yöntemler kullanılabilir. Belli şartlarda elde edilmiş verilerden hareketle diğer verileri tahmin edebilmek uygulamalı bilimlerin belkide en çok üzerinde durduğu konularından biridir. Fakat veri yığınları arasında kaybolunması veya veriler arasındaki ilişkileri verilere öylece bakarak görmek oldukça zordur. Hatta bazı önemli verileri ihmal bile edebiliriz. Verileri düzenli olarak görebilmenin yollarından biri grafik kullanmaktır. Bu amaçla genelde;

I.2. Düzlemsel polar koordinatlar

I.3. Küresel polar koordinatlar

I.4. Silindirik polar koordinatlar

Yararlanılır.

I.1. Kartezyen Koordinatlar :

Birbirine dik iki eksenden oluşmuş koordinat sistemleri kartezyen koordinatlar veya lineer koordinarlar olarak adlandırılır. Düzlem üzerinde bulunan bir nokta bu koordinat sistemi kullanılarak tanımlanabilir. Eksenlerden düşey olanı ordinat yatay olanı ise absis olarak adlandırılır. İki eksenin kesiştiği nokta başlangıç noktası orjin olarak adlandırılır. Kartezyen koordinat sistemi pek çok denel verilerin çizilmesi için kimyada yoğun olarak kullanılırlar. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak çizilmiş basınç-hacim ilişkisi alttaki grafikte gösterilmiştir (Şekil 1).

Şekil 1 : İdeal Gazlarda basınç-hacim değişimi

Bu noktadan sonra bu tür koordinat sistemi kullanılarak bir grafiğin nasıl çizilebileceğini adım adım görecegiz. Aşağıdaki veriler CH₄ için 25 °C de basınç-molar hacimleri göstermektedir (D.R. Donsalin, R.H. Harrison, R.T.Moore, J.P. Mc Cullough, J. Chem. Eng. Data, 9:358(1964).

V / L. mol^-1	1	½	1/3	1/4	1/5	1/6
P / atm.	23.4749	45.2050	65.5470	84.8673	103.539	121.969

Peki böyle bir grafiği el ile çizerken nasıl bir yol kullanabiliriz ve bu çizim sırasında nelere dikkat etmeliyiz. Bunu anlatabilmek için yukarıdaki verilerden yararlanılacaktır.

	Burada grafik çizilirken yapılan hata her iki eksen için aynı birim büyüklüklerin kullanılmasıdır. 20 L mol^-1 birimlere karşılamak için 20 atm. lik birimler alınmış. Elde edilen grafik basınç ile hacmin nasıl değiştiğini gösteremiyor.
	Burada grafik çizilirken yapılan hata her iki eksen için aynı birim büyüklüklerin kullanılmasıdır. 5 L mol^-1 birimlere karşılamak için 5 atm. Lik birimler alınmış. Elde edilen grafik basınç ile hacmin nasıl değiştiğini gösteremiyor. Ayrıca çizilen gridlerin fazlalığı dikkati çekiyor. Eksenlerdeki rakamları gösteren veriler birbirlerine karışmış durumda

	Eksenleri gereğinden büyük almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden olabilir. Burada hacim ekseni için gereğinden fazla eksen uzatılmış
	Eksenleri gereğinden büyük almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden olabilir. Burada basınç ekseni için gereğinden fazla eksen uzatılmış
	Eksenleri gereğinden büyük almakta veriler arasındaki ilişkinin nasıl olduğunun gözden kaçmasına neden olabilir. Burada da hem hacim ekseni hemde basınç ekseni için gereğinden fazla eksenler uzatılmış
	Yandaki şekilde ise yukarıdaki verilerin kullanılması ile daha anlaşılır bir grafik çizildikten sonra görülüyor.

Şimdi benzer şekilde adımlar halinde bir grafiğin nasıl çizileceğini göreceğiz. Bu işlem adımlar halinde anlatılacaktır.

Suda AgCl çözünürlüğü, sıcaklığın bir fonksiyonu olarak verilmiştir. Bu verileri kullanrak sıcaklığın fonksiyonu olarak AgCl çözünürlüğünün nasıl değiştiğini uygun bir grafikle gösteriniz.

T/ °C	1.55	4.68	9.97	17.51	25.86	34.12
(g AgCl/1000 g H₂O)´10⁴	56	66	89	131	194	274

Bu veriler için sıcaklığın bir fonksiyonu olarak hız sabitlerinin nasıl değiştiğini grafiklerle inceleyelim.

1. 1. Çizimi yapacağımız grafik kağıdının şeklinin aşağıdaki şekilde bölümlenmiş olduğunu varsayalım.

2. 2. Sıcaklık 1.55-34.12 °C arasında değişmiştir (X ekseni değerleri ). AgCl çözünürlüğü ise 56´10^-4- 274´10^-4 arasında değişmiştir. Bu verileri grafik kağıdına nasıl dağıtılacağını görelim.

X eksenine yerleştirilecek sıcaklıkların 0-40 arasında yer aldığını düşünelim. 40 birimin 40 °C ye karşı geldiğini düşünürsek; 1 birim 1 °C ye karşı gelecektir.

(I)

olacaktır.

Y eksenine yerleştirilecek değerlerin 50´10^-4ile 300´10^-4 arasında olduğunu düşünelim. Bu verileri de 50 birim arasına dağıtmaya çalışalım.

(II)

yazılabilir. Burada da her 10 birim 50x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O karşı gelecektir. Bu durumda yukarıdaki hesaplamaları kullanarak grafik kağıdını şekilde düzenleyebiliriz.

3. 3. Bundan sonraki kısımda verilerin grafiğe oturtulması söz konusudur.. bu amaçla yukarıda elde edilen I ve II nolu eşitliklerinden yararlanılabilir.

T/ °C	1.55	4.68	9.97	17.51	25.86	34.12
(g AgCl/1000 g H2O)´10⁴	56	66	89	131	194	274

Değerlere göre sıcaklığı 0 °C den başlatmıştık. Çözünürlük ise 50 den başlamıştı.

Sıcaklıklar	1.55	4.68	9.97	17.51	25.86	34.12
(g AgCl/1000 g H₂O)´10⁴	56	66	89	131	194	274

X eksenindeki veriler

(t 1.55 °C) = (1 birim/^oC)x1.55 = 1.55 birim

(t 4.68 °C) = (1 birim/^oC)x4.68 (^oC) = 4.68 birim

(t 9.97 °C) = (1 birim/^oC)x9.97 (^oC) = 9.97 birim

(t 17.51 °C) = (1 birim/^oC)x17.51 (^oC) = 17.51 birim

(t 25.86 °C) = (1 birim/^oC)x25.86 (^oC) = 25.86 birim

(t 34.12 °C) = (1 birim/^oC)x34.12 (^oC) = 34.12 birim

Y eksenindeki veriler

(çöz 56 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (56 - 50)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 1.2 birim

(çöz 66 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (66 - 50)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 3.2 birim

(çöz 89 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (89 - 50)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 7.8 birim

(çöz 131 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (131 – 100)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 6.2 birim

(çöz 194 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (194 – 150)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 8.8 birim

(çöz 274 için) =(2000 birim/g AgCl/1000 g H₂O)x (274 – 250)x10^-4 g AgCl/1000 g H₂O = 4.8 birim

4. 4. Bundan sonraki işlem grafiğin formatlanmasının tamamlanmasıdır. Bu amaçla;

- - Kılavuz çizgileri ortadan kaldırılmalı,

- - Noktalar denel veriler olduklarını gösterecek şekilde daha vurgulu şekilde işaretlenmeli

- - Grafiğin başlığı konulmalıdır.

Bu şekilde hazırlanmış grafik aşağıdadır.

5. 5. Şimdi bu grafiğe belli noktaları birleştirmek için bir çizgi çizmek istediğimizi varsayalım. Böylece ara değerler için tahmini noktalar bulabiliriz. Fakat nasıl bir çizgi ile noktalar birleştirilmelidir. Bu konu daha sonra ele alınacaktır.

Ev Ödevi : Aynı grafik üzerinde verileri karşılaştırmak için birden fazla grafiği nasıl çizersiniz. Örn. KCl ve NaCl çözünürlüklerinin sıcaklıkla nasıl değiştiğini ek bir grafik üzerinde göstermeye çalışınız. Verileri birbirine karıştırmamak için ne yaparsınız?

Kartezyen koordinatlarda; eğer bir büyüklük aynı anda iki değişkene bağımlı olarak gösterilmek istenirse bu iki değişkene göre üç boyutlu kartezyen koordinatlara göre grafiğine elde edilebilir. Yandaki şekilde sabit miktarda bir gazın hacminin, sıcaklık ve basınçla nasıl değiştiği gösterilmiştir. Sonsuz sayıda kartezyen koordinat sisteminin yan yana konulmasıyla 3 boyutlu değişim grafikleri elde edilebilir. Bu şekildeki bir koordinat sistemi; iki boyutlu bir yerden üçüncü boyutlu bir yere geçmemize neden olur. Bu noktada; böyle bir uzayda hacim elemanından söz edilebilir. dV hacim elemanı için; dV = dxdydz yazılabilir (Şekil 2).

Şekil 2 : Kartezyen koordinat sisteminde hacim elemanı

Kartezyen koordinat sisteminde V(P,T) fonksiyonunun değişimi (Animasyon 1)

Animasyon 1 : Bir gazın hacminin basınç ve sıcaklığa bağlı olarak değişimi V(P, T)

I.2. Düzlemsel Polar Koordinatlar :

İki boyutlu düzlemde fiziksel durumların hepsini açıklayabilmek için kartezyen koordinat sistemi ile her zaman yeterli olmayabilir. Bazense pratik değildir. Polar koordinatlar kullanmak daha rahat ve daha anlamlı olabilir. Polar koordinatlarda, bir noktanın yeri iki eksenin kullanılması yerine, bir eksenden belli bir açı ve merkezden belli bir uzaklıktaki noktanın belirtilmesi ile noktasal yer belirtilebilir. Yandaki şekilde X ekseninden 45º sapmış ve merkezden 3 birim uzaklıktaki noktanın yeri gösterilmiştir.

Şekil 3 : Düzlemsel Polar Koordinatlarda bir noktanın yeri

Şimdi benzeri bir sistem üzerinde nokta ve başlangıç noktasına ile ilişkileri matematiksel ifadelerle gösterelim. Bunun için yandaki şekli kullanacağız. Burada “a” ve “b” uzunlukları;

ve ayrıca

eşitliklerinden bulunabilir. “P” noktasının yeri “r” ve “q” değerlerine bağlı olarak değiştiğinden P noktasının yeri belirlenebilir.

yazıabilir.

Örnek : Düzlemsel polar koordinatları r =3.16 ve q = 71° 34’ olan bir noktanın koordinatlarını x ve y cinsinden hesaplayınız.

x = 3.16 Cos(71° 34’) = 1.00

y = 3.16 Sin(71° 34’) = 3.00

P noktasının yeri P(1,3) tür.

I.3. Küresel polar koordinatlar :

Düzlemsel polar koordinat sistemindeki düzleme dik üçüncü bir eksenin katılmasıyla aşağıdaki şekilde görülen küresel polar koordinat sistemi meydana gelir. Bu tür bir sistemde bir P noktasının yerinin nasıl tanımlanabileceğini görelim.

Animasyon 2 : Küresel polar koordinatlarda değişkenler.

bağıntıları kullanılarak

Bu eşitliklerden azimutal açı;

Polar açı ise;

olarak bulunabilir. Küresel polar koordinat sistemindeki hacim elemanı dVise;

Şekil 4: Küresel polar koordinatlarda hacim elemanı

1.4 Silindirik Polar Koordinatlar :

Bir noktanın XY düzleminden olan uzaklığı (z) ile bu noktanın XY düzlemindeki izdüşümünün düzlemsel polar koordinatlar cinsinden değeri o noktanın silindirik koordinatları olarak bilinir. Noktanın yeri bir açı ve uzunluğa bağlı olarak şeklinde tanımlanır. Silindirik koordinatların x, y, z cinsinden değeri