Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

Deneysel Sonuçların Değerlendirilmesi

Bir fiziksel niceliğin önceden saptanmış bir standarda göre sayısal değerinin belirlenmesi işine ölçüm denir. Önceden saptanmış bu standarda ise birim adı verilir. Örneğin bir cismin uzunluğunun 5 metre olduğu söyleniyorsa, bu cismin uzunluğunun 1 metre olarak tanımlanan bir birimin 5 katı olduğu söylenir. Başka bir deyişle bir niceliğin ölçülmesi demek, bu niceliğin birimi veya birimin belli bir kesrini kaç kere içerdiğinin saptanması demektir. Ölçme yaparken üzerinde önemle durulması gereken iki kavram doğruluk ve duyarlılıktır. Doğruluk : fiziksel bir niceliğin bir ölçümünün gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir. Duyarlılık : aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunu gösterir. Ölçümler sonucu elde edilen sayısal değerler, ancak ölçüm hataları ile birlikte verildikçe anlamlı olur. Ölçmede Hata : Bir ölçüm sonucunun gerçek değerden sapması ölçme hatası olarak tanımlanır. Ölçme hataları, ölçüm cihazlarının kusurları, kullanıcı hataları, çevresel etkiler veya ölçülen nesnenin değişkenlikleri gibi çeşitli nedenlerden kaynaklanabilir. Sistematik Hatalar : Belirli bir yönde (pozitif veya negatif) olarak ortaya çıkan hatalardır. Bu hatanın nedeni ölçüm cihazının kalibrasyon eksikliği, sıcaklık, basınç, nem gibi çevresel etkiler veya ölçmede kullanılan yöntemden kaynaklanır. Rastgele Hatalar : Ölçümlerde düzensiz olarak ve öngörülemez şekilde meydana gelen hatalardır. Çevresel faktörlerden veya insan kaynaklı ufak hatalardan kaynaklanır. Kaba Hatalar : Ölçümü yapan kişinin dikkatsizliği ya da bir cihazın bozuk olması gibi durumlarda meydana gelir. Bu tür hatalar genellikle ölçüm dışı bırakılır ya da tekrar ölçüm yapılır. Ölçüm hatalarını azaltmak için, cihaz kalibrasyonu, doğru tekniklerin kullanılması, çevresel etkilerin azaltılması veya ölçümlerin tekrarlanması gerekir. Ölçüm hataları tamamen yok edilemez ancak minimize edilebilirler. Aritmatik Ortalama : Bir grup verinin değerleri toplamının bu değerlerin sayısına bölünmesi ile elde edilen değerdir. aritmetik ortalama olarak bilinen türüyle günlük hayatta ve bilimsel çalışmalarda yaygın şekilde kullanılır. \rm \overline{X} = {1 \over N }\sum _{i=1} ^N X_i \qquad \qquad (Eşitlik \; 1 ) formülü ile hesaplanır. Burada N veri sayısıdır. Ortalama Değerden Sapma (Sapma): Bir grup verinin aritmetik ortalamasından ne kadar saptığını ölçen bir istatistiksel kavramdır. Verilerin dağılımını ve yayılımını anlamak için kullanılan bir ölçüttür ve genellikle veri grubunun tutarlılığını veya çeşitliliğini analiz etmekte yardımcı olur. Herhangi bir i. ölçüm için sapma a; \rm a_i= X_i - \overline{X} N tane ölçüm yapıldığında sapmaların ortalama değerine bakmak istersek sonuç negatif, pozitif veya sıfır olabilir. Bu nedenle ortalama değerden sapma ölçümün güvenirliği ile ilgili doğru bilgi vermeyebilir. Bu sıkıntıdan kurtulmak için iki yol vardır. (1). Sapma değerlerinin mutlak değerlerinin ortalamasını almak, (2).Sapma değerlerinin karesini alıp toplamak (böylelikle pozitif sayılar elde ederiz) ve daha sonra toplamın karekökünü almak Veri grubundaki herbir değerin ortalamadan farkının mutlak değeri \rm | X_i - \overline{}X | bulunduktan sonra Bu farkların toplamı veri sayısı N e bölünerek bulunur. Tablo 1 deki verileri inceleyiniz. \rm X_{ort \; sap} = {1 \over N }\sum _{i=1} ^N | X_i - \overline{X} | \qquad \qquad (Eşitlik \; 2 ) formülü ile hesaplanır. Orta Değer : Verilerin dağılımını özetlemek için kullanılan bir merkezi eğilim ölçüsüdür. bir veri setindeki değerlerin sıralandıktan sonra tam ortasında yer alan değeri ifade eder. Orta değeri bulmak için sayılar küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanır. Veri sayısı tek ise, sıralanan verilerin tam ortasındaki sayı orta değer ( medyan ) Veri sayısı çift ise, ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması alınarak orta değer (medyan) bulunur. Özellikle uç değerlerin (çok büyük veya çok küçük verilerin) ortalamayı etkilediği durumlarda medyan, verilerin merkezi hakkında daha güvenilir bir bilgi verebilir. Orta değer, aşırı büyük ya da küçük değerlerden etkilenmez. Örneğin, 1,2,3,4,1000 veri setinin orta değeri 3, ancak ortalaması 202 dir. Nicel verilerde kullanıldığı gibi, sıralı kategorik verilerde de orta değer bulunabilir (örneğin, 'düşük', 'orta', 'yüksek'). Verilerin tam ortasında yer alan değeri ifade eder ve dağılımın merkezi hakkında fikir verir. Hassaslık : bir ölçüm cihazının veya yöntemin, küçük değişimleri algılama veya ölçebilme kapasitesini ifade eder. Bir ölçüm cihazı ne kadar hassas olursa, o kadar küçük değişiklikleri algılayabilir. Hassaslık, cihazın ayırt etme gücünün bir göstergesidir. Örneğin bir terazi 0.1 g hassasiyet sahipse ölçüğü kütlelerde bu sınırlar içinde hata yapabilir demektir. Elbette yukarıda zaydığımız hata kaynakları nedeni ile ölçülen büyüklükteki hata hassasiyet sınırlarının ötesine geçebilir. Bağıl Hassaslık : Bağıl hassaslık, bir cihazın veya ölçüm sisteminin hassaslığını, ölçülen büyüklüğün toplam değerine oranlayarak ifade eden bir kavramdır. Bu, ölçümün hassasiyetini bir bağlam içinde değerlendirme olanağı sağlar. Bağıl hassaslık; \rm Bağıl \; Hassaslık = { Hasaslık \over Ölçülen \; Değer} \qquad \qquad (Eşitlik \; 3 ) Bir terazi 0.01 g hassasiyet ile ölçüm yapıyorsa ve bu terazi ile 50 g. lık bir büyüklük tartıldııysa bağıl hassaslık; \rm Bağıl \; Hassaslık = { 0.01 \; g \over 50 \; g } = 0.0002 \; veya \; ( \text{% 0.02 ) dir. } Yayılma : Bir veri grubundaki değerlerin birbirinden ne kadar farklılaştığını ya da veri grubunun ne kadar geniş bir alana yayıldığını gösterir. Veri grubunun ne kadar geniş ya da dar bir alana yayıldığını gösterir. Veri grubundaki değerlerin birbiriyle ne kadar uyumlu olduğunu anlamamıza yardımcı olur. Veri grubundaki yayılmayı değerlendirmek için kullanılan çeşitli istatistiksel ölçütler kullanılır. Bunlar; Aralık (Range) : Veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Örneğin; Veri grubu: 15, 14, 11, 12, 5, 14, 8, 9, 13, 8 ise; En büyük değer 15 ve en küçük değer 5 olduğundan Aralık (Range) = 15 - 5 = 10 dir. Varyans ( Variance ): Verilerin ortalamadan ne kadar saptığının bir ölçüsüdür. Tüm verilerin ortalamadan farklarının kareleri alınır, ardından bu farkların ortalaması hesaplanır. \rm Varyans (\sigma ^2) = {1 \over N } { \sum (X_i - \overline{X} )^2 } \qquad \qquad (Eşitlik \; 4 ) Tablo 1 : Varyans Hesabı. Tablodaki 10 verinin ortalaması 10.9 dır. Sıra No Veri \rm (X_i - \overline{X} ) \rm (X_i - \overline{X} )^2 1 15 15 - 10.9 = 4.1 \rm (4.1 )^2=16.81 2 14 14 - 10.9 = 3.1 \rm (3.1 )^2=9.61 3 11 11 - 10.9 = 0.1 \rm (0.1 )^2=0.01 4 12 12 - 10.9 = 1.1 \rm (1.1 )^2=1.21 5 5 5 - 10.9 = -5.9 \rm (-5.9 )^2=34.81 6 14 14 - 10.9 = 3.1 \rm (3.1 )^2=9.61 7 8 8 - 10.9 = -2.9 \rm (-2.9 )^2=8.41 8 9 9 - 10.9 = -1.9 \rm (-1.9 )^2=3.61 9 13 13 - 10.9 = 2.1 \rm (2.1 )^2=4.41 10 8 8 - 10.9 = -2.9 \rm (-2.9 )^2=8.41 \rm {1 \over N } \sum (X_i - \overline{X} ) = \rm { -0 \over 10 } = -0 \rm {1 \over N } \sum (X_i - \overline{X} )^2 = \rm { 96.9 \over 10 } = 9.69 Sonuçlar ile ilgili hatalı bilgiye ulaşılmasına neden olur. farkların mutlak değeri veya karesi alınarak doğru doğru bilgi edinilir. Standart Sapma (Standard Deviation) : Varyansın karekökü alınarak bulunur. Daha anlaşılır bir ölçü birimi sağlar. \rm Standart \; Sapma = \sqrt{{1 \over N } { \sum (X_i - \overline{X} )^2 }} \qquad \qquad (Eşitlik \; 5 ) Yukarıdaki verilerin varyansı 9.69 olduğundan standart sapması \rm \sqrt{ 9.69 } \simeq 3.11 dır. Mutlak Hata : Bir ölçümün veya tahminin, gerçek (doğru) değer ile ölçülen (tahmin edilen) değer arasındaki farkının büyüklüğüdür. Mutlak hata yalnızca farkın miktarını (pozitif bir değer olarak) ifade eder ve işaret (negatif ya da pozitif) dikkate alınmaz. \rm Mutlak \; Hata = | Gerçek \; Değer \;- \; Ölçülen \; Değer | \qquad \qquad (Eşitlik \; 6 ) Bağıl Hata : Bir ölçümün veya tahminin doğruluğunu, gerçek değere kıyasla oransal olarak ifade eden bir hata ölçüsüdür. Bağıl hata, mutlak hatanın gerçek (doğru) değere oranı olarak hesaplanır ve genellikle bir yüzde (% oranı) olarak ifade edilir. \rm Bağıl \; Hata = { Mutlak \; Hata \over Gerçek \; Değer} \times 100 \qquad \qquad (Eşitlik \; 7 ) ÖDEV 1 : Laboratuvardaki aynı özellikteki cam malzemelerden (50 mL beher, 100 mL erlen v.b.) 5 tanesinin kütlesini ölçünüz. Verileri kullanarak Yapılacak hesaplamalar : ortalama değeri, ortalamadan sapma değerini, orta değeri, aralığı, varyansını, standart sapmasını hesaplayınız.