Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

En Küçük Kareler Yöntemi

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Method), iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi modellemek için kullanılan istatistiksel bir tekniktir. Bu yöntem, tahmin edilen değerler ile gerçek ölçüm değerleri arasındaki hataları minimize etmek amacıyla geliştirilmiştir. Hatalar, gözlemler ile modelin tahmin ettiği değerler arasındaki farklar olarak tanımlanır ve bu farkların karelerinin toplamını en küçük yapan parametreler seçilir. Şekil 1 : y=f(x) fonksiyonu için çizilmiş eğri ve deneysel değerlerle uyumları arasındaki farklar. Bu yöntemde bağımlı değişken y ile bağımsız değişken x arasındaki ilişki modellenmeya çalışılır. y=f(x) şeklindeki bir fonksiyona uyuyor ve herhangi bir x değeri için deneysel olarak \rm y_{ denel} değeri elde edilmişse; Bu yöntemdeki temel hedef deneysel değer \rm y_{ denel } değer ile y değeri arasındaki farkın kareleri toplamını minimize etmektir. Bu şekilde deneysel veriler ile uyuşan en iyi eğri bulunmaya çalışılır (Şekil 1). Bu toplam; \rm S=\sum _{ i=1} ^n (y_i-y_{ denel } )^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 1 ) şeklinde ifade edilir. Şekil 2 : y=Ax fonksiyonu için çizilmiş doğru ve fonksiyon ve deneysel veriler arasındaki uyumu sağlamak için en fonksiyonun eğimini berilrleyecek en iyi A değeri değerleri belirlenmelidir. y=Ax Fonksiyonu İçin Deneysel Değerlere En Yakın A Değerinin Hesaplanması f(x) = Ax fonksiyonu şeklinde bir fonksiyona uyması beklenen veriler denel yolla elde edilirken deneysel hatalar nedeni ile fonksiyonda uzaklaşacaktır. Elde edilen deneysel verilere en uygun orjinden geçen doğrunun elde edilmesi için herbir deneysel nokta ile fonksiyonun gösterdiği nokta minimize edilmelidir. Şekil 2 'de daireler deneysel olarak elde edilmiş sonuçları ( \rm y_{ denel } ), kırmızı çizgi ise bu sonuçlar için çizilmiş en iyi f(x)=Ax fonksiyonuna uyan doğruyu göstermektedir. \rm y_{ fit } ise f(x)=Ax fonksiyonuna göre \rm y_{ denel } e karşı olması gereken değeri göstermektedir. Herhangi bir i noktası için yapılan hata veya sapma \rm e = y_{ fit } - y_{ denel } kadardır. Hatalarının toplamlarının her zaman pozitif çıkması için \rm e^2 alınır. \rm e = y_{ fit } - y_{ denel } \qquad \qquad (Eşitlik \; 2 ) herhangi bir denel i noktası için; \rm e = Ax_i - y_i \qquad \qquad (Eşitlik \; 3 ) \rm e^2 = (Ax_i - y_i)^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 4 ) \rm e = Ax_i^2 -2Ax_iy_i + y_i^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 5 ) \rm { de^2 \over dA } = 2Ax_i^2 - 2x_iy_i e = Ax_i - y_i \qquad \qquad (Eşitlik \; 6 ) \rm { de^2 \over dA } = 0 yapan değer en iyi değer olacaktır. Böylece deneysel verilere uyacak en iyi A değeri; \rm A = { x_iy_i \over x _i ^2 } \qquad \qquad (Eşitlik \; 7 ) Tüm noktalarda yapılan sapma veya hataların toplamı ise; \rm \sum e^2 = \sum (Ax_i - y_i)^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 8 ) olacağından \rm A = \sum {{ x_iy_i } \over \sum { x _i ^2 } } olacaktır. Örnek Çalışma y=Ax+B Fonksiyonu İçin Deneysel Değerlere En Yakın A ve B Değerlerinin Hesaplanması y=Ax+B şeklindeki bir fonksiyon için A ve B değerlerinin hesaplanması için hataların minimize edilmesi için izlemmesi gereken adımlar aşağıda gösterilmiştir. \rm e = y_{ fit } - y_{ denel } \qquad \qquad (Eşitlik \; 9 ) herhangi bir denel i noktası için; \rm e = (Ax_i+B) - y_i \qquad \qquad (Eşitlik \; 10 ) \rm e^2 = (Ax_i + B - y_i)^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 11 ) \rm e^2 = Ax_i^2 + BAx_i -Ax_iy_i + BAx_i + B^2 - By_i - Ax_iy_i -By_i +y_i^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 12 ) \rm e^2 = A^2x_i^2 + 2BAx_i - 2Ax_iy_i + B^2 - 2By_i + y_i^2 \qquad \qquad (Eşitlik \; 13 ) \rm {de^2 \over dA} = 2Ax_i^2 + 2Bx_i - 2x_iy_i=0 \qquad \Rightarrow \qquad Ax_i^2 + Bx_i - x_iy_i=0 \qquad \qquad (Eşitlik \; 14 ) \rm {de^2 \over dB } = 2Ax_i + 2B - 2y_i = 0 \qquad \Rightarrow \qquad Ax_i + B - y_i = 0 \qquad \qquad (Eşitlik \; 15 ) Tüm noktalarda yapılan sapma veya hataların toplamı ise; \rm A \sum _{i=1} ^n x_i^2 + B \sum _{ i=1 } ^n x_i - \sum _{i=1} ^n x_iy_i =0 \qquad \qquad (Eşitlik \; 16 ) \rm A \sum _{i=1} ^n x_i + nB - \sum _{i=1} ^n y_i = 0 \qquad \qquad (Eşitlik \; 17 ) Eşitlik 16 ve Eşitlik 17 deki denklem sistemi çözülürse; \rm A = { n \Big( \sum _{i=1} ^n x_i y_i \Big ) - \Big( \sum _{i=1} ^n x_i \Big ) \Big( \sum _{i=1} ^n y_i \Big ) \over n \Big( \sum _{i=1} ^n x_i^2 \Big )- \Big( \sum _{i=1} ^n x_i \Big )^2 } \rm B={ \Big( \sum _{i=1} ^n y_i \Big ) -m \Big( \sum _{i=1} ^n x_i \Big )\over n} elde edilir. Örnek Çalışma ÖDEV 1 : Bazı hesap makinaları ile regrasyon ve en küçük kareler yöntemine göre hesaplamalar yapılabilir. Hesap Makinasını kullanarak aşağıdaki veri grubu için A ve B değerlerini hesaplayınız. Elde ettiğiniz verileri Örnek Çalışma daki tabloda giriş yaparak doğru yapıp yapmadığınızı kontrol ediniz. Tablo 3 : Hesap makinasını kullanarak aşağıdaki veriler için Y=AX + B fonksiyonundaki A ve B değerlerini bulun. \rm x_i \rm y_{ denel } \rm 1 \rm 5 \rm 6 \rm 20 \rm 9 \rm 28 \rm 16 \rm 53 \rm 10 \rm 35