Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

Hata Yayılımı

Bir ölçüm veya hesaplama sırasında, ölçüm hatalarının veya belirsizliklerin sonuca nasıl aktarıldığını analiz eden bir yöntemdir. Bu kavram, ölçüm sistemlerinde doğruluk ve kesinlik analizinde kritik bir rol oynar. Ölçüm cihazlarının sınırlamaları ve insan hataları nedeniyle oluşan belirsizlikler, hesaplama sonuçlarına yansır. , Hata yayılımı, bu belirsizlikleri matematiksel olarak analiz eder. Toplama ve Çıkartma İşlemleri R' = X + Y - Z şeklinde hesaplanmak üzere X, Y ve Z büyüklükleri ölçülürken her bir büyüklükte sırası ile \rm \partial x , \; \partial y \; ve \; \partial z kadar hata yapılıyorsa, R de meydana gelecek belirsizlik dR; \rm dR = \sqrt{ ( \partial x)^2 + ( \partial y)^2 + ( \partial z)^2} Hesaplama sonucu R değeri bu belirsizliği de içerecek şekilde \rm R=R' + dR \rm R=(X+Y-Z) + \sqrt{ ( \partial x)^2 + \partial y)^2 + \partial z)^2} \qquad \qquad (Eşitlik \; 1 ) şeklinde verilmelidir. ÖRNEK : Bir titrasyon sırasında bürette ilk değer \rm V_1 = 3 \pm 0.4 mL ve \rm V_2 = 12 \pm 0.2 mL olarak okunduysa ortaya çıkan belirsizlik ne kadardır? \rm dV= \sqrt{ (0.4)^2 + (0.2)^2} = 0.4 \; mL \rm \Delta V = 9 \pm 0.4 \; mL Çarpma ve Bölme İşlemleri Çarpma veya bölme işlemlerinde göreli belirsizlikler (hatalar) toplanır: Çarpma ve bölme işlemlerini içeren bir ölçümlerin belirsizliğe katkıları için ise Örneğin X, Y, Z büyüklükleri ölçülürken her bir büyüklük sırası ile \rm \partial x , \; \partial y \; ve \; \partial z kadar belirsizlik içeriyorsa ve Bu X, Y, Z ye bağlı büyüklük R için aşağıdaki eşitlik geçerliyse; \rm R = {X Y \over Z} R deki belirsizlik dR; \rm { \partial R \over |R| } = { \partial x \over |X| } + { \partial y \over |Y| } + { \partial z \over |Z| } \rm d R = |R| \sqrt { \Big( { \partial x \over |X| } \Big) ^2 + \Big( { \partial y \over |Y| } \Big) ^2 + \Big( { \partial z \over |Z| } \Big) ^2 } ÖRNEK : Bir maddenin yoğunluğunun belirlenmesi amacı ile hacmi ve kütlesi ölçülüyor. \rm m = 17.6 \pm 0.2 g ve hacmi \rm V = 5.5 \pm 0.1 \; cm^3 olarak ölçülüyor. Yoğunluğundaki hata yayılımını hesaplayınız. \rm \rho = { m \over V } \qquad \Rightarrow \qquad \rho = { 17.6 \over 5.5 } = 3.2 \; g \; cm^{-3} \rm d \rho = | \rho | \sqrt{ \Big( { \partial m \over m } \Big)^2 + \Big( { \partial v \over V } \Big)^2 } \rm d \rho = (3.2 \; g \; cm^{-3}) \sqrt{ \Big( { 0.2 \over 17.6 } \Big)^2 + \Big( { 0.1 \over 5.5 } \Big)^2 } = 0.1 \; g \; cm^{-3} \rm \rho = 3.2 \; \pm \; 0.1 \; g \; cm^{-3} Sabit Bir Değerle Çarpma Belirsizliğe sahip bir sayı sabit bir sayı ile çarpılarak bir R değeri elde ediliyorsa; \rm R=CX \qquad ise \qquad dR=|C|dx şeklinde hesaplanmalıdır. ÖRNEK : Bir reaksiyonda reaksiyon hızı \rm v = k[H^+] eşitliği ile verilmiştir. reaksiyon hız sabiti k = 39.8 \rm s^{-1} ve \rm [H^+] = 0.26 \pm 0.043 \; mol \; L^{-1} olduğuna göre reaksiyon hızındaki belirsizliği hesaplayınız. \rm v = k [H^+] \qquad \Rightarrow \qquad v = (39.8 \; s^{-1}) (0.26 \; mol \; L^{-1} ) =10 \; mol \; L^{-1} \; s^{-1} \rm dv=kd[H^+] \qquad \Rightarrow \qquad dv=( 39.8 \;s^{-1} )(0.043 \; mol \; L^{-1} ) = 1.7 \; mol \; L^{-1} \; s^{-1} \rm v= 10 \pm 1.7 \; mol \; L^{-1} \; s^{-1} Polinomal Fonksiyonlarda Polinomal bir fonksiyon söz konusu ise ve R; \rm R=X^n \qquad ise \qquad dR=|R||n|{ dx \over X } şeklinde hesaplanmalıdır. ÖRNEK : Bir maddenin yüzeyde tutunması ile ilgili olarak kullanılan Freundlich Eşitliği \rm q=K[A]^n şeklindedir. Bu eşitlikte q; birim kütlede adsorbe olan madde miktarını, [A] ; yüzeyde tutunan maddenin denge konsantrasyonunu ve K ve n sabit sayılardır. Bir çalışmada [A]= \rm 0.423 \pm 0.0292 \; mol \; L^{-1}, K ve n sabit sayıları sırası ile \rm 8.77 \; mol \; g^{-1} ve 0.8 ise hata yayılımı ne kadar olur? \rm q=K[A]^n \qquad \Rightarrow \qquad q=(8.77)(0.423)^{ 0.8 } =4.41 \; mol \; g^{-1} \rm dq = |q||n|{ d[A] \over [A] } \qquad \Rightarrow \qquad dq=(4.41 \; mol \; g^{-1}) (0.8) { 0.0292 \; mol \; L^{-1} \over 0.423 \; mol \; L^{-1} } = 0.24 \; mol \; g^{-1} \rm q=4.41 \pm 0.24 \; mol \; g^{-1} Genel Bir Fonksiyon İçin R(X,Y,Z,...)şeklindeki bir fonksiyon için hata yayılımı; \rm dR = \sqrt{ \Big( { \partial R \over \partial x } dx \Big)_{Y,Z, ...} ^2+ \Big( { \partial R \over \partial y } dy \Big)_{X,Z, ...} ^2+ \Big( { \partial R \over \partial z } dz \Big)_{X,Y, ...} ^2 } şeklinde hesaplanmalıdır. Örnek çözüm üzerinde deneyebilirsiniz.