|
Bir zamanlar gökyüzündeki yıldızların hareketlerini hesaplamak günler alırken,
karmaşık mühendislik problemlerini çözmek oldukça uğraştırıcı ve zaman alıcı bir süreçti.
İşte tam da bu noktada, bir matematik devrimi sahneye çıktı: Logaritma.
İnsanlık tarihinde, çarpma ve bölme işlemlerini basit bir toplama ve çıkarma işlemine dönüştüren bu buluş,
bilimi ve mühendisliği hızlandırarak modern dünyanın temellerini attı.
Logaritma yalnızca bir matematiksel araç değil; aynı zamanda büyümenin, değişimin ve ölçeğin dilidir.
Deprem şiddetini ölçerken, bir bakterinin çoğalmasını incelerken veya bir yatırımın yıllar içinde nasıl katlanacağını hesaplarken
logaritma önemli bir araç olarak kullanılır.
Örneğin, bir çözeltinin asitlik derecesini ifade eden pH kavramı, logaritmayı kullanarak \rm [H^+]
iyonlarının konsantrasyonunu basitleştirir.
Ya da bir radyoaktif izotopun bozunmasını düşünün: Üstel azalma ve yarı ömür hesaplamaları logaritmik bir dille yazılır.
Kimyada, biyolojide ve çevremizdeki her şeyde, logaritma önemli bir araç olarak kullanılır.
Logaritma yalnızca bir matematiksel araç değil; aynı zamanda aşırı değişim, büyümenin ve küçülmenin evrensel dilidir.
kimyasal bir reaksiyonun denge durumunu incelerken, logaritma sayesinde karmaşık olanı kolaylaştırırız.
Logartma çarpma ve bölme gibi karmaşık işlemleri, birer toplama ve çıkarma işlemine indirgemesi, onun en büyük sırrıdır.
Bu, 17. yüzyıl matematikçilerinin büyük sayılarla yaptığı hesaplamaları inanılmaz derecede hızlandırdı. Ancak bu kavramın büyüsü yalnızca matematikte değil, doğanın işleyişinde de kendini gösterir. Örneğin;
Dünya ile Güneş arasındaki mesafe yaklaşık
150.000.000 km (150 milyon km, \rm 1,5 \times 10^8 km) , en yakın yıldız olan Proxima Centauri ise yaklaşık
40.000.000.000.000 km (40 trilyon km, \rm 4,0 \times 10^13) uzaklıktadır.
Bu bol sıfırlı veya üstlü sayılar ile çalışmak yerine logaritma kullanırsak
\rm log_{10} 150.000.000= 8.1761 ve
\rm log_{10} 40.000.000.000.000= 13.6021
şeklinde çok daha basit sayılar haline gelir.
Güneş ve yıldızın mesafesini 10 un kuvveti olarak yazmak istersek;
\rm 10^{ 8.1761 } ve \rm 10^{ 13.6021 } şeklinde yazabiliriz.
Bu işlemde logaritmanın tersi işlemidir ve antilogaritma denir.
Çözeltideki \rm H^+ konsantrasyonu açısından bakarsak pH daki 1 birimlik değişim çözelti ortamındaki iyon konsantrasyonunun 10 katına
karşılık gelir. pH=1 olan çözelti ile pH=3 olan çözelti içindeki \rm H^+ konsantrasyonu 100 kat daha fazladır.
Logaritma işlemlerinde 10 tabanına göre yaygın olarak işlemler yapılırken, daha da yaygın olarak kullanılan bir diğer logaritma tabanı doğal logaritma tabanı olan logaritmadır.
Bu logaritmanın taban değeri 2.71828182846 olup e ile gösterilir.
Jacob Bernoulli, bir yatırımın yıl boyunca sürekli bileşik faizi üzerinden nasıl büyüdüğünü incelerken doğal logaritma tabanı e'yi buldu. Bu problemde, başlangıçtaki bir sermayenin (örneğin,P) zamanla büyümesini şu şekilde formüle etti;
\rm
\lim _{ n \to \infty } \Big( 1 + {1 \over n } \Big)^n = e
Nüfus artışı, bakterilerin üremesi gibi üstel büyüme gösteren doğal süreçler incelendiğinde,
e tabanlı üstel fonksiyonlar \rm e^x ortaya çıktı.
Bu fonksiyonların türev ve integral özellikleri, matematiksel analizde oldukça kullanışlıdır.
Logaritma işlemlerinde x sayısının 10 tabanına göre logaritması alınacaksa \rm log_{ 10} (x) yerine log(x) yazıldığında
logaritmanın 10 tabanına göre alınacağı bilinir. Doğal logaritma tabanına göre logaritma alınacaksa \rm log_e(x) yazmak yerine
ln(x) yazılması tercih edilir. Ancak farklı bir taban kullanılacaksa örneğin 5 tabanına göre x sayısının logaritması alınacaksa
\rm log_5 (x) şeklinde yazılır.
Logaritma Alma Kuralları :
\rm log_a(a) = 1 : 1'den farklı pozitif bir gerçel sayının kendi tabanındaki logaritması 1' dir.
Bu özelliği kanıtlamak istersek logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde \rm a^x = a eşitliğinden x'in 1 olduğunu görülür.
\rm log_a(1) = 0 : 1 sayısının logaritma tanımına uygun her tabandaki logaritması sıfırdır.
Bu özelliği kanıtlamak istersek logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde \rm a^x = 1 eşitliğinden x'in 0 olduğunu görülür.
\rm log_a(b^x) = xlog_a(b) : \rm b^x sayısının a tabanındaki logaritması,
b sayısının a tabanındaki logaritmasının x katıdır.
\rm log_{a^x}(b) = {1 \over x}log_a(b) :
b sayısının \rm a^x tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının x'e bölünmüş halidir.
\rm log_{a^x}b^y = { y \over x }log_a(b) :
\rm b^y sayısının \rm a^x tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının y/x katıdır.
\rm log_a(m \times n) = log_a(m)+log_a(n) :
m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları toplamına eşittir.
\rm log_a \big( {m \over n} \big) = log_a(m)-log_a(n) :
m ve n sayılarının çarpımının logaritması bu sayılarının logaritmaları farkına eşittir.
\rm log_a (m) = { log_b (m) \over log_b( a )} :
Bir m sayısının b tabanına göre logaritması bilinirse a tabanına göre logaritması \rm log_b (m) nin \rm log_b( a ) oranına eşittir.
Örnekler
Soru 1
\rm X={ 1 \times 10^5 \over 2 \times 10^{-3}}
ise; X değerini logaritma alma kuralarlarına göre hesaplayınız.
Çözüm 1 :Adım Adım yukarıdaki kurallar uygulanırsa
\rm log (X)= log \Big( { 1 \times 10^5 \over 2 \times 10^{-3}} \Big)
\rm log (X)= log \big( 1 \times 10^5 \big) -log \big( 2 \times 10^{-3} \big)
\rm log (X)= log (1) + log(10^5) -log ( 2) -log( 10^{-3})
\rm log (X)= log(1) + 5log(10) -log ( 2) -(-3)log( 10)
\rm log (X)= 0 + 5 \times 1 -0.301029995664 +3 \times 1
\rm log (X)= 7.69897000434
\rm log (X)= 10^ { 8.30102999566 }
\rm X= { 50000000 }
şeklinde çözülür.
Soru 2 ve Çözüm 2
Soru 3 ve Çözüm 3
Soru 4 ve Çözüm 4
Soru 5
Radyoktif bir maddenin parçalanması
\rm
ln { [A]_o\over [A]} = kt
eşitliği ile izlenir. Burada \rm [A]_o; maddenin başlangıçtaki miktarı, [A]; t zamanı sonundaki miktarı ve k; radyoktif maddeye özel hız sabitidir.
|