\rm
\lim [f(x)+g(x)-h(z)]=lim \; f(x)+ lim\; g(x)-lim \; h(z)]
\rm
lim { f(x) \over g(x)} = { lim \; f(x) \over lim \; g(x)}
\rm
lim[Cf(x)] = C lim \; f(x)
\rm
lim [f(x)]^n = [lim \; f(x)]^n
\rm
\lim_{x \to \infty} e^x = \infty
\rm
\lim_{x \to -\infty } e^x = 0
\rm
\lim_{x \to 0 } a^x = 1
\rm
\lim_{x \to \infty } ln(x) = \infty
\rm
\lim_{x \to \infty } { C \over x^n}= 0 \qquad (n > 0)
\rm
\lim_{x \to \infty } { x \over \root x \of x!}= e
\rm
\lim_{x \to \infty } \Big( 1+ { k \over x } \Big)^x = e^k
\rm
\lim_{x \to \infty } \Big( 1+ { 1 \over x } \Big)^x = e
\rm
\lim_{x \to \infty } \Big( 1- { 1 \over x } \Big)^x = { 1 \over e }
\rm
\lim_{x \to \infty } x \Big( { \sqrt{ 2 \pi x } \over x! } \Big)^{1/x}= e
\rm
\lim_{x \to \infty } { x! \over x^xe^{-x} \sqrt{x} } = \sqrt{ 2 \pi}
\rm
\lim_{x \to \infty } log_a \Big(1+ {1 \over x } \Big)^x = log_ae
\rm
\lim_{x \to 0 } { log_e (1+x) \over x} = 1
\rm
\lim_{x \to 0 } { x \over log_a (1+x)} = {1 \over log_a e}
\rm
\lim_{x \to 0 } { a^x - 1 \over x } = ln a \qquad a>0
\rm
\lim_{x \to 0 } { Sin x \over x } = 1
\rm
\lim_{x \to 0 } { Tan x \over x } = 1
\rm
\lim_{x \to 0 } { 1 - Cos x \over x } = 0
\rm
\lim_{x \to 0 } { 1 - Cos x \over x^2 } = {1 \over 2}
\rm
\lim_{x \to 0 } { arcSin x \over x} = 1
\rm
\lim_{x \to 0 } { arcTan x \over x} = 1
\rm
\lim_{x \to 1 } { (arcCos x)^2 \over 1- x} = 2
Moleküllerin kararlı konfigürasyonları, potansiyel enerji yüzeylerindeki minimum noktalarla belirlenir.
Bu noktaları bulmak için enerji fonksiyonunun türevi sıfıra eşitlenir.
Termodinamik denklemler, örneğin Gibbs serbest enerjisi (G) gibi,
sistemdeki küçük değişimlerin etkisini incelemek için kısmi türevlerden yararlanır.
Elektrokimyasal sistemlerde, elektrot yüzeyleri arasındaki potansiyel farkları sürekli ve kesintisiz değişir. Bu potansiyel değişimlerin incelenmesinde süreklilik ve türev kavramları kritik rol oynar. Örneğin, bir elektrot yüzeyindeki potansiyel dağılımının eğimini (türevini) hesaplayarak, yüzeydeki yük dağılımını ve elektron transfer mekanizmalarını anlayabiliriz.
Spektroskopi çalışmalarında elde edilen sinyallerin analizi, sinyal değişimlerinin zamana ya da frekansa bağlı türevleri üzerinden yapılabilir. Böylece, moleküllerin enerjik geçişleri ve dinamik davranışları hakkında bilgi edinilir.
Reaksiyon mekanizmalarının modellenmesi için kurulan diferansiyel denklemler, limit ve türev kavramlarına dayanır. Bu denklemler, deneysel verilerin doğrulanmasında ve reaksiyonların simülasyonlarında kullanılarak, kimyasal sistemlerin gelecekteki davranışlarının tahmin edilmesine olanak tanır.
Şimdi biraz daha ayrıntılı olarak ve matematiksel olarak yukarıda sıraladığımız olayları anlamak için sahip olmamız gereken temel bilgiler üzerinde konuşalım.
Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim miktarını ifade eder.
Örneğin; hareket eden bir şeyin hızının değişimini hesaplamak için türevden nasıl yararlanacağımızı anlamaya çalışalım.
Bir aracın ortalama hızını bulmak istiyorsa, belirli bir zaman aralığında aldığı yolu geçen zamana bölerek buluruz.
\rm
\text{ Ortalama Hız } = { \Delta x \over \Delta t }
Ancak anlık hızı bulmak istersek sonsuz küçük bir zaman aralığında alınan alınan yol dikkate alınmalıdır. Bunu matematiksel olarak
\rm
a= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0 } { \Delta x \over \Delta t }
şeklinde gösterebilir. Buradaki a; aynı zamanda ivme olarak adlandırılır.
Çeşitli fonksiyonların türevini almak için türev alma kurallarının bilmek gerekir. Aşağıda türev alma kuralları sıralanmıştır.
Türev Alma Kuralları
-
Sabit Fonksiyonun Türevi : C sabit olmak üzere f(x)= C ise ;
\rm
{ d \over dx } f(x) = { d \over dx } C =0
\rm f(x) fonksiyonunun türevi \rm f'(x) şeklinde gösterilir.
Örnek : f(x)= 5 ise;
\rm
f'(x)={ d \over dx } f(x)={ d \over dx } 5 = 0
-
Çarpan Kuralı (Sabit Çarpan) :
Bir sabit ile çarpılan bir fonksiyonun türevi alınırken, sabit çarpan dışarıda kalır.
\rm
{ d \over dx } Cf(x) = Cf'(x)
Örnek : \rm f(x)= 4x ise ;
\rm
f'(x)={ d \over dx } f(x)={ d \over dx } 4x= 4
-
Toplama ve Çıkarma Kuralları : İki fonksiyonun toplamının veya farkının türevi, ayrı ayrı türevlerinin toplamına veya farkına eşittir.
\rm
{ d \over dx } \big[ f(x) \pm g(x) \big] ={ d \over dx }f(x) \pm { d \over dx }g(x) = f'(x) \pm g'(x)
-
Kuvvet Kuralı :
f(x)= \rm x^n şeklindeki fonksiyonların türevi, üssün başa çarpan olarak geçmesi ve üssün bir azalmasıyla bulunur.
\rm
f'(x)={ d \over dx }f(x) = { d \over dx } x^n = nx^{n-1}
Örnek : \rm f(x)= 4x^3 \; ve \; g(x)=3x^{-2} ise ;
\rm
f'(x)={ d \over dx } f(x)={ d \over dx } 4x^3= 12x^2
\rm
g'(x)={ d \over dx } g(x)={ d \over dx } 3x^{-2}= -6x^{-3}
-
Çarpım Kuralı :
İki fonksiyonun çarpımı aşağıdaki şekilde hesaplanır.
\rm
{ d \over dx } \big[ f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
Örnek : \rm f(x)= ax^3 ve \rm g(x)= bx^2 ise ;
\rm
{ d \over dx } \big[ (ax^3)(bx^2)\big] = (3ax^2)(bx^2)+(ax^3)(2bx)=3abx^4+2abx^4=5abx^4
-
Bölme Kuralı :
İki fonksiyonun bölümüı aşağıdaki şekilde hesaplanır.
\rm
{ d \over dx } \Big[ { f(x) \over g(x) } \Big] = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over g(x)^2}
Örnek : \rm f(x)= x ve \rm g(x)= x^2+1 ise ;
\rm
{ d \over dx } \Big[ { x \over x^2+1 } \Big] = { (1)(x^2+1) - (x)(2x)\over (x^2+1)^2}= { 1-x^2 \over (x^2+1)^2 }
-
Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyonun Türevi) :
İç içe geçmiş fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır.
\rm
{ d \over dx } \big[ { f(g(x)) } \big] = f'(g(x))g'(x)
Örnek : \rm f(x)= (g(x))^5 ve \rm g(x)= 2x^3+4 ise ;
\rm
f'(x)={ d \over dx } \big[ (2x^3+4)^5 \big] = 5(2x^3+4)(6x^2)=60x^5+120x^2
-
Bazı Özel Fonksiyonların türevi :
|
Fonksiyon
|
Türevi
|
|
Sin(x)
|
Cos(x)
|
|
Cos(x)
|
-Sin(x)
|
|
\rm e^x
|
\rm e^x
|
|
ln(x)
|
\rm {1 \over x}
|
|
\rm a^x
|
\rm a^xln(a)
|
|
Tan(x)
|
\rm sec^2(x) |