DİFRANSİYEL (TÜREV) İŞLEMLERİ
IV-1.
DİFERANSİYELİN TANIMI
Bu tanım, limit ve değişim kavramlanyla çok yakından ilgilidir. y = x2
şeklinde verilen bir fonksiyonda x'in bir dizi değeri için y'nin alacağı
değerler şöyledir.
Büyüklüklerin sıralanışından izlendiği gibi x'in değeri 3'e
yaklaştığında y'nin değeri de 9 civarında olmaktadır. Böylece x ve y'ye ilişkin
sayısal düzenleme yardımıyla x = 3 için y = 9 olacağı kestirilebilmektedir. Bu
nedenle 
eşitliği yazılabilir.
Diğer taraftan,
fonksiyonel
yapısında x ile y arasındaki değişimler aşağıdaki gibidir.
Yukandaki fonksiyonda x = 1 konursa y = 0/0
şeklinde belirsiz bir değer eld;
edilir. Oysa
sayısal değerierin değişimine dikkat edilirse x = 1 için y = 2 olduğu gc rülür.
Nitekim
eşitliğiyle elde
edilen limit değerinin yukarıdaki sayısal değişimlerden tahmin edilen y
değerini doğrulamaktadır.
Aşağıdaki şekilde
soldan ya da sağdan yaklaşıldığında f(x) fonksiyonun 0 noktası değerinin nasıl
olduğuna dikkat edin. Bu durumda limit değer x = 0 noktasına yaklaşıldığında
fonksiyonun alacağı değer ne olacaktır.
|
|
|
fonsiyonunun değişimi, 0 noktasında fonksiyonun değeri
nedir?
Yukandaki
şekilde izlendiği gibi, 
için f (x) = 1 ve 
için f (x) = 0'dır. x
= 0 değerine yaklaşım yönü çok önemlidir. Negatif yönden yaklaşıldığında 
, pozitif yönden yaklaşıldığında 
ise l'dir. Bunları
matematiksel olarak,
eşitlikleriyle
gösterebiliriz.
Limit bulma
işlemleri üzerinde üç önemli ilke şöyle özetlenebilir. f (x) ve g (x) gibi iki
fonksiyonu göz önüne alalım. Eğer bu fonksiyonlarla ilgili olarak, 
ve 
aşağıdaki eşitlikler
yazılabilir.
Son ilkenin
geçerli olabilmesi için 
olma koşulu vardır.
Görüldüğü gibi limit bulma durumunda "SÜREKLİLİK" oldukça önem
taşımaktadır. örneğin y = x2 fonksiyonunda x = 3 için fonksiyon
tanımlıdır. Oysa y = (x2 -1)/(x -1) fonksiyonu x = 1 için
tanımsızdır. Böylece, x = 3 için x2 gerçekten, 
değerini aldığından x = 3 noktasında süreklidir diye
nitelendirilir. f (x) fonksiyonunun x = a noktasında sürekli olabilmesi için,
eşitliği geçerli
olmalıdır. Örneğin 
fonksiyonu x = 0
noktasında 
olup diğer taraftan x
= 0 için y = 0 olduğundan süreklidir denir.
Türev alma
işlemini yeterince daha iyi kavramak için aşağıdaki geometrik şekli
inceleyelim.
|
|
Eğri üzerindeki P noktasının eğiminin hesaplanması |
Şekildeki 
doğrusunun eğimi, 
kadar olacaktır. P
noktasındaki eğim ise, eğriye bu noktadan çizilen teğetin eğimi kadardır. 
doğrusunun eğimi bu
iki noktanın koordinatları yardımıyla,
eşitliğiyle
belirlenebilir. 
doğrusunun eğimi,
teğet eğiminden daha büyüktür.
Eğer P ve 
noktaları arasında 
gibi üçüncü bir nokta seçersek, 
doğrusunun eğimini 
doğrusuna ilişkin
eğimden daha düşük buluruz. 
noktasını P noktasına yaklaştırırsak çok yakın konumdaki 
noktasının absisi x1 + h ise, yeni 
doğrusunun eğimi,
eşitliğiyle
yazılabilir. Eğer limit durumunda h, 0 değerine yaklaşırsa hareketli 
noktası da P
noktasıyla çakışmış olur. Böylece P noktasındaki teğetin eğimi ya da eğrinin P
noktasındaki eğimi,
genel
yapısıyla yazılabilir. Bu matematiksel açıklamalardan da görüldüğü gibi eğrinin
eğimi ya da eğriyi belirleyen fonksiyonun türevi, x değişkeni üzerindeki
değişimlere oranla y üzerindeki değişim hızıdır, şeklinde tanımlanabilir. Bu
büyüklük oldukça önemli olup y = f (x) fonksiyonunda y'nin x'e göre türevi
biçiminde tanımlanabilir ve aşağıdaki sembollerle gösterilebilir.
veya 
yada
şeklinde tanımlanan y
= f (x) fonksiyonunun türevi, eşitlik olarak da,
bağıntısıyla verilebilir. y = f (x) yapısındaki bir fonksiyonun türevi varsa bu fonksiyonun difarensiyeli alınabilir. Türev elde etme işlemi de diferansiyel işlem olarak adlandırılır. 2. dereceden bir türevden söz ediliyorsa d2y/dx2 yazım deseni kullanılır. Anlamı ise;
demektir. Üçüncü mertebeden bir türevin yazım deseni nasıl olmalıdır? Deneyiniz.
Türevin
Geometrik Anlamı İçin Excel Dosyası (Ziplenmiş
olarak)
Daha fazlası Ayrıntılı Ders Notlarındadır.