| Ana Sayfa  | Dersler | Ders Programı | Simülasyonlar  | Diğer | İletişim |

Dalga Fonksiyonunun Anlamı (Born Yaklaşımı) \rm \Psi 'nin anlamı Max Born tarafından hazırlanmış bir öneri üzerinde temellenmiştir. Born ışığın dalga teorisindekine benzer bir yol kullandı. ışığın dalga teorisine göre; elektromagnetik bir dalganın genliğinin karesi onun yoğunluğu anlamındır veya bu nedenle kuantum terimlerine bağlı olarak fotonların sayısı anlamındadır. Born yaklaşımına göre; dalga fonksiyonunun karesi ( \rm \Psi kompleksi ise, \rm \Psi ^* \Psi şeklindedir. Uzayın herhangi bir noktasında parçacıkların bulunma olasılığı ile orantılıdır. Bir boyutlu bir sistem için; Bir parçacığın dalga fonksiyonunun genliği \rm \chi noktası civarında \rm \Psi ise, \rm \chi ve \rm \chi + d \chi arasında parçacıkların bulunma olasılığı \rm \Psi ^* \Psi d \chi dır. . Bu nedenle \rm \Psi ^* \Psi olasılık yoğunluğu olup \rm \Psi 'nin kendisi aolasılık genliği olarak adlandırılır. Üç boyutta hareket eden bir parçacık için (örneğin; bir atomda çekirdek yakınındaki bir elektron için) dalga fonksiyonu \rm \chi , y, ve z koordinatlarına karşı gelen r noktasına bağlıdır ve \rm \Psi (r)'nin anlamı Şekil 1. 6 'da verildiği gibi; Şekil 1. 6: Üç boyutlu uzayda dalga fonksiyonunun Born yaklaşımına göre r mesafesindeki \rm d au = d \chi dydz hacim elemannı içinde parçacığın bulunma olasılığı, \rm \Psi ^* \Psi \; ile \; d \tau nun çarpımına eşittir. Bir parçacığın dalga fonksiyonunun genliği r noktasında \rm \Psi ise, r noktasındaki sonsuz küçük bir hacimde \rm d \tau = d \chi dydz parçacığın bulunma olasılığı \rm \Psi ^* \Psi d \tau ile orantılıdır. Kuantum Teorisinin Varsayımları İncelenmekte olan sistem hakkındaki bilgiler \rm \Psi dalga fonksiyonu tarafından verildiğine göre bu fonksiyonun uyması gereken koşullar söz konusudur. Bu koşullar; Fonksiyon ve türevi sürekli olmalıdır. Eğer elde edilen fonksiyon bu özelliğe sahip değilse sistemin bu noktadaki özelliği belirsiz olur. Bu incelenen taneciğin özelliğinin bu noktada belirlenememesi anlamını taşır. Değişkenin herhangi bir değerine karşılık olarak fonksiyon tek bir değere sahip olmalıdır. Böyle olmaması durumunda taneciğin aynı anda birden fazla yerde olması gibi anlamsız bir sonuç ortaya çıkabilir. \rm \Psi ^* \Psi d \tau 'nun taneciğin \rm d \tau hacim elemanı içinde bulunma olasılığı olduğunu yukarıda söylemiştik. Taneciğin bir bölge için değil içinde bulunduğu uzayın her noktası için inceleyebilmek gerekir. Bu nedenle \rm \Psi fonksiyonu öyle bir fonksiyon olmalıdır ki \rm \Psi ^* \Psi d \tau 'nin integrali alınabilmelidir. Aslında bu 1.varsayımda ele alınan fonksiyon için yeni bir kısıtlayıcı şart olarak ortaya çıkar. Eğer boşluğun heryeri ele alınırsa, uzaklığın sonsuz olması halinde \rm d \tau ha- cim elemanı içinde taneciğin bulunma olasılığı sıfır olmalıdır. Böyle olma- ması durumunda sonsuz uzaklıktaki olasılık ( \rm \Psi ^* \Psi d \tau ) sonsuz olur. Böyle bir sonuç ise fiziksel olarak anlamsız olacağından \rm \chi , y, z 'nin sonsuz olması halinde \rm \Psi sıfır olacak şekilde seçilmelidir ( \rm \lim _{( \chi ,y,z \rightarrow \infty) } \Psi _{ \chi ,y,z} = 0 ). Sistem var olduğuna göre uzayın herhangi bir yerinde bulunmalıdır. bütün uzay ele alınacak olursa olasılıklarım toplamı bire eşit olmalıdır. Matematiksel olarak; \rm \int _{- \infty} ^{+ \infty} \Psi ^* \Psi d \tau = 1 olmalıdır. Bu normalizasyon şartı olarak bilinir. Taneciğin izlenebilen herhangi bir özelliği A 'nın beklenen ortalama değeri \rm < A > ; \rm < A > = { \int _{- \infty} ^{+ \infty} \Psi ^* A \Psi d \tau \over \int _{- \infty} ^{+ \infty} \Psi ^* \Psi d \tau } eşitliği ile hesaplanır. Bu eşitlikte, A; A 'nın özelliğinin operatörüdür. Dalga fonksiyonu \rm \Psi , normalize bir fonksiyon olduğundan yukarıdaki eşitlik \rm < A > \int _{- \infty} ^{+ \infty} \Psi ^* A \Psi d \tau şeklinde yazılabilir. Şekil I. 7: Bir dalga fonksiyonunda gözlenmemesi gereken davranışlar Klasik mekanikteki her büyüklüğün kuantum mekaniğinde bir operatörü vardır. Fiziksel bir büyüklüğün, kuantum mekaniksel bir opperatörünü elde etmek için, önce bu büyüklüğe ait olan klasik eşitlik, koordinatlar \rm \chi , y, z cinsinden yazılır, daha sonra Tablo 1'de gösterilen kurallar kullanılarak operatörler elde edilir. Tablo 1 : Kuantum kimyasında kullanılan operatörler ve anlamları. Klasik Değişken Operatör Operatörün İfadesi İşlem \rm p _\chi \rm p _\chi \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial \chi } \rm \chi 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm p_y \rm p_y \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial y } y 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm p_z \rm p_z \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial z } z 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm E \rm E \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial t } t 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak Bir taneciğe eşlik eden kinetik ve potansiyel enerjileri hesaplamak için Hamilton operatörü kullanılır. Bir taneciğe ait olan Hamilton operatörü yazılırken, önce taneciğin toplam enerjisini veren klasik eşitlik yazılır. \rm E ={ 1 \over 2m } \big( p _\chi ^2 + p_y^2 + p_z^2 \big) + V(x,y,z) Klasik eşitlikteki momentum bileşenleri, kuanttum mekaniksel operatörleri ile değiştirilir. Tablo 1'deki operatör ifadelerine göre; \rm p _\chi ^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial \chi } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial \chi ^2} \rm p_y^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial y } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial y ^2 } \rm p_z^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial z } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial z ^2 } dir. Bu operatörlein klasik eşitlikte yerine konulması ile toplam enerji operatörü olan Hamilton operatörü; \rm H=- { \hbar ^2 \over 2m } \Big( { \partial ^2 \over \partial \chi ^2 } + { \partial ^2 \over \partial y ^2 } + { \partial ^2 \over \partial z ^2 } \Big)+ V( \chi , y, z ) olarak elde edilir. Laplace operatörünün kullanılması ile eşitlik \rm H= - { \hbar ^2 \over 2m } \nabla ^2 + V( \chi , y, z ) şeklinde yazılabilir. Schrödinger eşitliği üç boyut için \rm H \psi = E \psi olarak yazılabilir. Bu eşitliklerden de görüldüğü gibi; Hamilton operatörü, H; kinetik enerji operatörü, K, ile potansiyel enerji operatörü, V'nin toplamına eşittir (H=K+V). \rm \Psi ^* ; \rm \Psi'nin eşlenik kompleksidir.