Dalga Fonksiyonunun Anlamı (Born Yaklaşımı)
Şekil 1. 6: Üç boyutlu uzayda dalga fonksiyonunun Born yaklaşımına göre r mesafesindeki
Ψ 'nin anlamı Max Born tarafından hazırlanmış bir öneri üzerinde temellenmiştir. Born ışığın dalga teorisindekine benzer bir yol kullandı. ışığın dalga teorisine göre; elektromagnetik bir dalganın genliğinin karesi onun yoğunluğu anlamındır veya bu nedenle kuantum terimlerine bağlı olarak fotonların sayısı anlamındadır. Born yaklaşımına göre; dalga fonksiyonunun karesi (Ψ kompleksi ise,Ψ*Ψ şeklindedir. Uzayın herhangi bir noktasında parçacıkların bulunma olasılığı ile orantılıdır. Bir boyutlu bir sistem için;
Bir parçacığın dalga fonksiyonunun genliğiχ noktası civarındaΨ ise,χ veχ+dχ arasında parçacıkların bulunma olasılığıΨ*Ψdχ dır. .
Bu nedenleΨ*Ψ olasılık yoğunluğu olupΨ 'nin kendisi aolasılık genliği olarak adlandırılır. Üç boyutta hareket eden bir parçacık için (örneğin; bir atomda çekirdek yakınındaki bir elektron için) dalga fonksiyonuχ , y, ve z koordinatlarına karşı gelen r noktasına bağlıdır veΨ(r) 'nin anlamı Şekil 1. 6 'da verildiği gibi;dau=dχdydz hacim elemannı içinde parçacığın bulunma olasılığı,Ψ*Ψiledτ nun çarpımına eşittir.Bir parçacığın dalga fonksiyonunun genliği r noktasında
Ψ ise, r noktasındaki sonsuz küçük bir hacimdedτ=dχdydz parçacığın bulunma olasılığıΨ*Ψdτ ile orantılıdır.Kuantum Teorisinin Varsayımları
İncelenmekte olan sistem hakkındaki bilgiler
Ψ dalga fonksiyonu tarafından verildiğine göre bu fonksiyonun uyması gereken koşullar söz konusudur. Bu koşullar;
Fonksiyon ve türevi sürekli olmalıdır. Eğer elde edilen fonksiyon bu özelliğe sahip değilse sistemin bu noktadaki özelliği belirsiz olur. Bu incelenen taneciğin özelliğinin bu noktada belirlenememesi anlamını taşır.
Değişkenin herhangi bir değerine karşılık olarak fonksiyon tek bir değere sahip olmalıdır. Böyle olmaması durumunda taneciğin aynı anda birden fazla yerde olması gibi anlamsız bir sonuç ortaya çıkabilir.
Ψ*Ψdτ 'nun taneciğindτ hacim elemanı içinde bulunma olasılığı olduğunu yukarıda söylemiştik. Taneciğin bir bölge için değil içinde bulunduğu uzayın her noktası için inceleyebilmek gerekir. Bu nedenleΨ fonksiyonu öyle bir fonksiyon olmalıdır kiΨ*Ψdτ 'nin integrali alınabilmelidir. Aslında bu 1.varsayımda ele alınan fonksiyon için yeni bir kısıtlayıcı şart olarak ortaya çıkar.Eğer boşluğun heryeri ele alınırsa, uzaklığın sonsuz olması halinde
dτ ha- cim elemanı içinde taneciğin bulunma olasılığı sıfır olmalıdır. Böyle olma- ması durumunda sonsuz uzaklıktaki olasılık (Ψ*Ψdτ ) sonsuz olur. Böyle bir sonuç ise fiziksel olarak anlamsız olacağındanχ , y, z 'nin sonsuz olması halindeΨ sıfır olacak şekilde seçilmelidir (lim(χ,y,z→∞)Ψχ,y,z=0). Sistem var olduğuna göre uzayın herhangi bir yerinde bulunmalıdır. bütün uzay ele alınacak olursa olasılıklarım toplamı bire eşit olmalıdır. Matematiksel olarak;
∫−∞+∞Ψ*Ψdτ=1 olmalıdır. Bu normalizasyon şartı olarak bilinir.
Taneciğin izlenebilen herhangi bir özelliği A 'nın beklenen ortalama değeri
<A> ;<A>=∫−∞+∞Ψ*Ψdτ∫−∞+∞Ψ*AΨdτ eşitliği ile hesaplanır. Bu eşitlikte, A; A 'nın özelliğinin operatörüdür. Dalga fonksiyonu
Ψ , normalize bir fonksiyon olduğundan yukarıdaki eşitlik<A>∫−∞+∞Ψ*AΨdτ şeklinde yazılabilir.
Şekil I. 7: Bir dalga fonksiyonunda gözlenmemesi gereken davranışlar
Klasik mekanikteki her büyüklüğün kuantum mekaniğinde bir operatörü vardır. Fiziksel bir büyüklüğün, kuantum mekaniksel bir opperatörünü elde etmek için, önce bu büyüklüğe ait olan klasik eşitlik, koordinatlar \rm \chi , y, z cinsinden yazılır, daha sonra Tablo 1'de gösterilen kurallar kullanılarak operatörler elde edilir.
Tablo 1 : Kuantum kimyasında kullanılan operatörler ve anlamları. Klasik Değişken Operatör Operatörün İfadesi İşlem \rm p _\chi \rm p _\chi \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial \chi } \rm \chi 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm p_y \rm p_y \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial y } y 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm p_z \rm p_z \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial z } z 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak \rm E \rm E \rm -i \; \hbar { \partial \over \partial t } t 'e göre türevi alınacak ve ( \rm -i \; \hbar ) ile çarpılacak Bir taneciğe eşlik eden kinetik ve potansiyel enerjileri hesaplamak için Hamilton operatörü kullanılır. Bir taneciğe ait olan Hamilton operatörü yazılırken, önce taneciğin toplam enerjisini veren klasik eşitlik yazılır.
\rm E ={ 1 \over 2m } \big( p _\chi ^2 + p_y^2 + p_z^2 \big) + V(x,y,z)Klasik eşitlikteki momentum bileşenleri, kuanttum mekaniksel operatörleri ile değiştirilir. Tablo 1'deki operatör ifadelerine göre;
\rm p _\chi ^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial \chi } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial \chi ^2}\rm p_y^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial y } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial y ^2 }\rm p_z^2 = \Big(-i \; \hbar { \partial \over \partial z } \Big)^2 = - \hbar ^2 { \partial ^2 \over \partial z ^2 }dir. Bu operatörlein klasik eşitlikte yerine konulması ile toplam enerji operatörü olan Hamilton operatörü;
\rm H=- { \hbar ^2 \over 2m } \Big( { \partial ^2 \over \partial \chi ^2 } + { \partial ^2 \over \partial y ^2 } + { \partial ^2 \over \partial z ^2 } \Big)+ V( \chi , y, z )olarak elde edilir. Laplace operatörünün kullanılması ile eşitlik
\rm H= - { \hbar ^2 \over 2m } \nabla ^2 + V( \chi , y, z )şeklinde yazılabilir.
Schrödinger eşitliği üç boyut için\rm H \psi = E \psiolarak yazılabilir. Bu eşitliklerden de görüldüğü gibi; Hamilton operatörü, H; kinetik enerji operatörü, K, ile potansiyel enerji operatörü, V'nin toplamına eşittir (H=K+V).
\rm \Psi ^* ; \rm \Psi'nin eşlenik kompleksidir.
Kaynaklar |