| Ana Sayfa  | Dersler | Ders Programı | Simülasyonlar  | Diğer | İletişim |

Özdeğer ve Özdeğer Fonksiyon Herhangi bir \rm \alpha operatörü için, A bir sabit sayı olmak üzere \rm \alpha F(x)= A F(x) \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;1) bağıntısı yazılabiliyorsa, A, \rm \alpha operatörünün özdeğeri, F(x) 'de özfonksiyon olarak bilinir. Schrödinger eşitliğine, \rm H \Psi = E \Psi , dikkat edilecek olursa sistemin enerjisi, E, Hamilton Operatörünün, H, özdeğeri ve dalga fonksiyonu \rm \Psi ise özfonksiyonudur. Soru 1 : Bir A operatörü \rm \Psi (x) üzerine; \rm A \Psi (x)=-{ d^2 \over dx^2} \Psi (x) şeklinde tanımlanmıştır. \rm \Psi (x) = sin(kx) olduğuna göre bu fonksiyonun özfonksiyon olup olmadığını tartışınız. Çözüm: \rm A \Psi (x)=-{ d^2 \over dx^2} sin(kx) \rm A \Psi (x)= - { d \over dx } \Big( {d \over dx } sin(kx) \Big) \rm A \Psi (x)= - { d \over dx } \Big( kcos(kx) \Big) \rm A \Psi (x)= - \big( -k^2sin(kx) \big) \rm A \Psi (x)= k^2sin(kx) \rm A \Psi (x)= k^2 \Psi (x) Bu sonucu göre \rm \Psi (x) fonksiyonu A operatörünün öz fonksiyonu, \rm k^2 de özdeğeridir. Dejenarasyon Bohr atom modeline göre elektronların belirli enerji seviyeelerinde bulunabildiklerini ve elektronların enerjilereinin kuantize olduklarını görmüştük. Ayrıca herbir enerji seviyesi için uygun bir dalga fonksiyonu olması gerektiğini de öğrenmiş bulunuyoruz. Acaba ele alınan sistem içinde aynı enerjiye sahip birden fazla dalga fonksiyonu varsa durum nasıl değerlendirilecektir? Böyle bir sistem için \rm \Psi _1, \; \Psi _2, \;\Psi _3, \; ... \; \Psi _n, \; gibi bir seri dalga fonksiyonu olduğunu düşünelim. Herbir enerji seviyesi için bir dalga fonksiyonu olması gerektiğine göre \rm E_1, \; E_2, \; E_3, \; ... \; E_n En olan n tane enerji seviyesi bulunması gerekir. Bu enerji seviyelerinin enerjileri birbirlerindene farklıdır. Fakat n. enerji seviyesi için, \rm E_n, için \rm \Psi _{n1}, \; \Psi _{n2}, \;\Psi _{n3}, \; ... \; \Psi _{nk}, \; gibi k tane dalga fonksiyonu varsa bu enerji seviyesi k kere dejenere olarak adlandırılır. \rm E_n için Schrödinger denklemi; \rm H \Psi _{nk} = E_n \Psi _{nk} \qquad \qquad \qquad k=1,2,3,... \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;2) şeklinde yazılır. Enerjisi E olan bir enerji seviyesinin k kere dejenere olduğunu düşünürsek, bu enerji seviyesini gösteren dalga fonksiyonları \rm \Psi _1, \; \Psi _2, \; \Psi _3, \; ... \; \Psi _k olacaktır. Bu durum için k tane ayrı Schrödinger denklemi \rm H \Psi _1 = E \Psi _1, \; \; H \Psi _2 = E \Psi _2, \; \; H \Psi _3 = E \Psi _3, \; \; ..., \; \; H \Psi _k = E \Psi _k \; \; \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;3) şeklinde yazılabilir. Hamilton operatörü lineer bir operatördür. Bu nedenle dalga fonksiyonlarının lineer kombinasyonu \rm \phi _1; \rm \phi _1 = c_{11}\ \Psi _1 + c_{12}\ \Psi _2 + c_{13}\ \Psi _3 + ... + c_{1k}\ \Psi _k \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;4) olarak yazılabilir. Hamilton operatörü \rm \phi _1 .'e etki ettirilirse; \rm H \phi = c_{11} H \phi _1 + c_{12} H \phi _2 + c_{13} H \phi _3 + ... + c_{1k} H \phi _k = c_{11} E \phi _1 + c_{12} E \phi _2 + c_{13} E \phi _3 + ... + c_{1k} E \phi _k \rm H \phi = E \big( c_{11} \phi _1 + c_{12} \phi _2 + c_{13} \phi _3 + ... + c_{1k} \phi _k \big) \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;5) olduğu bulunur. \rm \phi _1'de dejenere enerji seviyesini tanımlayan bir dalga fonksiyonudur. Bu enerji seviyesini tanımlayan ve \rm \Psi'lerin lineer kombinasyonu olan k tane daha fonksiyon yazılabilir. \rm \phi _2 = c_{21}\ \Psi _1 + c_{22}\ \Psi _2 + c_{23}\ \Psi _3 + ... + c_{2k}\ \Psi _k \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;6) \rm \phi _3 = c_{31}\ \Psi _1 + c_{32}\ \Psi _2 + c_{33}\ \Psi _3 + ... + c_{3k}\ \Psi _k \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;7) ... \rm \phi _k = c_{k1}\ \Psi _1 + c_{k2}\ \Psi _2 + c_{k3}\ \Psi _3 + ... + c_{kk}\ \Psi _k \qquad \qquad \qquad \qquad (Eşitlik \;8) Dalga fonksiyonlarının lineer kombinasyonu olarak yazılışı Süperpozisyon Prensibi olarak adlandırılır.