Matematik İle İfade Edebiliyorsanız Bilginiz Doyurucudur.
A. Huxley

İntegral

Türev bir şeyin nasıl değiştiğini anlatırken, integral değişimlerin toplamını ve birikimini anlatır. Örneğin bir hareket halindki bir cismin aldığı yolu hesaplamak için integralden yararlanılabilir. Başka bir örne olarak bir sıvının akış hızları biliniyorsa, toplam geçen sıvı miktarı integral yönlemle hesaplanabilir. Kimyadan örnek vermek istersek; Kimyada birçok reaksiyonun hızı diferansiyel denklemlerle tanımlanır. Kimyasal sistemlerde iş ve enerji değişimleri de integral kullanılarak hesaplanır. Spektroskopik, HPLC, analizlerde bir grafiğin altında kalan alan kullanılarak madde miktarı hesaplanabilir. Resim 1 Açıklaması Geri İleri Şekil 1 (a) da görüldüğü gibi sabit bir hızla giden aracın aldığı yolu bulmak için aracın hızı ile bu yolda gittiği zamanı çarpmak gerekir. \rm L=V(t) \Delta t = (60 \;km \; saat^{-1}) (70 \; saat) = 4200 \; km 4200 km aslında Şekil 1 (a) daki sarı bölgenin alanına eşittir. Şekil 1 (b) de ise araç çeşitli zamanlarda aniden hızlanmıştır. Arabanın aldığı toplam yolu bulmak için sabit hızlarda ne kadar yol aldığı yukarıdakine benzer şekilde bulunabilir. \rm L=V(t)_{1} \Delta t_{1} + V(t)_{2} \Delta t_{2} + V(t)_{3} \Delta t_{3} + V(t)_{4} \Delta t_{4} + V(t)_{5} \Delta t_{5} + V(t)_{6} \Delta t_{6} + V(t)_{7} \Delta t_{7} \rm L=(10 ) (10) + (15 ) (10 ) + (25 ) (10 ) + (40 ) (10 ) + (60 ) (10 ) + (80 ) (10 ) + (110 ) (10) \rm L=150 \; km\; +\; 250 \; km\; +\; 400 \; km\; +\; 600 \; km\; +\; 800 \; km\; +\; 1100 \; km\; =3300 \; km Şekil 3 (c) de de benzer bir hesaplama yapılabilir. Fakat buradaki hız sonsuz küçük zaman aralıklarında sonsuz küçük miktarda değişmektedir. Bu nedenle yapılması gereken işlem \rm L=V(t) \Delta t değerlerini bulmak gerekir. Ancak burada \rm \Delta t sonsuz küçük zaman aralıklarındaki sonsuz küçük hız değişimlerine karşı gelen hızları ve \rm V(t)=0.02t^2+10 eşitliğine uyan hızları kullanmak gerekecektir. İşte bu \rm L = \int _{t=0} ^{t=70} V(t)dt = \int _{t=0} ^{t=70} (0.02t^2+10)dt = ? eşitliği ile tanımlanır. \rm \int f(x)dx ifadesi f(x) fonksiyonun x e göre integrali alınacağını gösterir. Yukarıdaki sorunun bitmemiş çözümünü bulmak için integral alma kurallarını bilmek gerekecektir. İntegral Alma Kuralları Sabit Bir Sayının integrali \rm \int A dx = Ax + C \qquad \Rightarrow \qquad \int 5 dx = 5x + C \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} Kuvvet Kuralı \rm \int x^n dx = {1 \over n+1}x^{n-1} + C \qquad \; ,\; \qquad n \neq -1 \qquad \Rightarrow \qquad \int x^4 dx = {1 \over 5}x^5 + C \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} Fonksiyonların Toplam veya Farklarının İntegrali \rm \int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx \rm \int [x^2 \pm 3x ] dx = \int x^2dx \pm \int 3xdx ={1 \over 3} x^3 + {3 \over 2}x^2+C \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} Sabit çarpanlar İntegral Dışına Alınır. \rm \int Af(x)dx = A \int f(x)dx \rm \int 10x^4dx = 10 \int x^4dx = 10{1 \over 5}x^5+C= 2x^5+C \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} Üstel Fonksiyonların İntegrali \rm \int e^xdx = e^x+C \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} \rm \int a^xdx = { 1 \over ln a }a^x+C \qquad a > 0, a \neq 1 \qquad \text{C : sabit bir sayıdır.} \rm \int 2^xdx = {1 \over ln 2 } 2^x + C Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali \rm \int Sinx dx = -Cosx +C \rm \int Cosx dx = Sinx +C \rm \int Sec^2x dx = Tanx +C \rm \int Csc^2x dx = -Cotx +C \rm \int Sec x Tan x dx = Secx +C \rm \int Csc x Cot x dx = -CScx +C \rm \int Cos3x dx ={1 \over 3 } Sin3x +C (1/x) dx İntegrali \rm \int {1 \over x} dx =ln|x|+C \qquad x \neq 0 Kısmi İntegrasyon \rm \int udv = uv - \int vdu \rm \int xe^xdx Burada \rm u =x \Rightarrow du=dx \qquad dv=e^xdx \Rightarrow v=e^x uygulanırsa; \rm \int xe^xdx = xe^x - \int e^xdx = xe^x-e^x+C Rasyonel Fonksiyonların İntegrali (Kısmi Kesirler Yöntemi) : Rasyonel fonksiyonlar için pay ve paydanın derecelerine göre uygun ayrıştırmalar yapılarak integral alınır. \rm \int {1 \over x^2+1}dx = Tan^{-1}+C Değişken Değiştirme Yöntemi : Eğer bir fonksiyonun türevi içerde çarpım halinde bulunuyorsa, değişken değiştirerek integral alınabilir. \rm \int (3x+2)^4dx \rm u=(3x+2), \; du=3dx \; olduğundan ; \rm \int u^4 {du \over 3} ={1 \over 3 } {u^5 \over 5 }+C ={ (3x+3)^5 \over 15 } + C Şimdi yanıtsız kalan sorumuzun yanıtını arayalım. \rm L = \int _{t=0} ^{t=70} V(t)dt = \int _{t=0} ^{t=70} (0.02t^2+10)dt = ? \rm L = \int _{t=0} ^{t=70} (0.02t^2+10)dt = \int _{t=0} ^{t=70} 0.02t^2dt+ \int _{t=0} ^{t=70} 10 dt \rm L=\Big| { 0.02 \over 3 } t^3 + 10 t \Big| _{t=0} ^{t=70} = { 0.02 \over 3 }(70-0)^3+ 5(70-0) \simeq 2637 \; km Son bir değerlendirme yapmak gerekirse; Şekil 1 (a) da alınan yol (60)x(70)=4200 km yol alınmıştır. ortalama hız sabitti. (4200 km )/(70 saat) = 60 km/saat lik sabit bir hız söz konusuydu. Şekil 2 (b) de alınan yol 3300 km olduğundan ortalama hız (3300 km )/(70 saat) \rm \simeq 48.6 km/saat olarak hesaplanabilir. Şekil 3 (c) de ise alınan yol yaklaşık 2637 km olduğundan ortalama hız (2637 km )/(70 saat) \rm \simeq 37.6 km/saat olarak hesaplanabilir.