| Ana Sayfa  | Dersler | Ders Programı | Simülasyonlar  | Diğer | İletişim |

Süper Pozisyonlar Ve Olası Değerler Schrödinger Eşitliğinin çözümü olarak dalga fonksiyonunu Ψ=Aeikχ+Be−ikχ olarak daha önce anlatmıştık *. Serbest bir parçacık için dalga fonksiyonundaki katsayıların A = B olduğunu düşünelim. Böyle bir parçacığın lineer momentumu ne olacaktır? Operatör tekniğini kullanırsak, dalga fonksiyonunu Ψ=A(eikχ+e−ikχ)=2ACoskχ(Eşitlik1)  olup tam bir dalga fonksiyonudur. Eğer bu dalga fonksiyonuna momentum operatörünü uygularsak; −iˉhdχdΨ=−2ikAˉhddχ(Coskχ)=2ikAˉh(Sinkχ)(Eşitlik2) sonucu ile karşılaşırız. Eşitliğin sağ tarafından da görüldüğü gibi özdeğere sahip bir eşitlik değildir. Parçacığın dalga fonksiyonun, operatörün özfonksiyonu olmadığından özellik belirsizlik taşımaktadır. Bununla beraber, bu örnekte momentum tam olarak belirsiz değildir. Çünkü cosinüs dalga fonksiyonu lineer bir süperpozisyondur. eikχ ve e ^{-ik \chi} değerlerinin kendi başlarına belirli momentum hallerine karşı geldiğini söyleyebiliriz. Sembolik olarak süperpozisyonları Ψ=Ψ→+Ψ←(Eşitlik3) şeklinde yazabiliriz. Bu dalga fonksiyonunun yorumunu, parçacığa momentumu ölçülebilirse, büyüklüğü kˉh olarak bulunabilir. Çünkü dalga fonksiyonunun herhangi bir bileşeni için olması gereken değerin böyle olması gerektiğini daha önce göstermiştik. Fakat ölçümlerin yarısı dalganın sağa diğer yarısı sola hareket ettiğini gösterecektir. Benzer yaklaşımları herhangi bir dalga fonksiyonuna uygulamak için bir süperpozisyon yazılır. Bu nedenle; dalga fonksiyonunu pekçok farklı lineer momentum eigen fonksiyonlarının bir toplamı olduğunu düşünürsek, dalga fonksiyonu; Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3+...=∑iciΨi(Eşitlik4)  şeklinde yazılabilir. Buradaki ci değerleri, sayısal katsayılar olup farklı momentum hallerine karşı gelen Ψi için farklıdır. Böylece kuantum mekaniği ile aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz. Momentum ölçüldüğünde, Ψi ye karşı gelen değerlerden birinin süperpozisyona katkısı ölçülebilir. Bunların olası değerleri önceden söylenemez fakat bir seri gözlem sonucu ölçülen özel bir değerin olasılığı süperpozisyondaki katsayıların karesi ile orantılı olacaktır (Eğer c kompleks ise c*c olacaktır.). Daha fazla sayıdaki gözlemlerin ortalama değeri gözlemlerin olasılık değeri ile verilir <A>=∫Ψ*Ψdτ. . Bu formül yalnızca normalize fonksiyonlar için doğrudur. Belirsizlik Prensibi: Eğer bir parçacığın dalga fonksiyonunu Aeikχ şeklindeyse, kˉh momentumu bir yöne doğru harekete karşı gelir. Bu durumdaki parçacığın yerinin neresi olduğunu bilmek isteyebiliriz. Born yaklaşımına göre bu sorunun cevabı dalga fonksiyonunun olasılık yoğunluğu hesaplanarak verilebilir. Böylece; Ψ*Ψ(Aeikχ)(Ae−ikχ)=A2(eikχ)(e−ikχ)=A2(Eşitlik5) yazılabilir. Buradan da görüldüğü gibi olasılık yoğunluğu χ'den bağımsız sabit bir sayısıdır. Bu nedenle parçacık eşit olasılıkla herhangi bir yerde bulunabilir. Başka bir deyişle momentum kesin bir şekilde belirlenirse, parçacığın yerinin belirlenmesi imkansızdır. Heisenberg belirsizlik prensibinin bu parçası kuantum mekaniksel pekçok ünlü sonuçlarından biridir. "Aynı anda hassas bir şekilde momentum ve parçacığın yeri ölçülemez demektir." Prensibi daha fazla tartışmadan önce diğer yarısı üzerinde durmalıyız. Eğer parçacığın yerini tam olarak biliyorsak momentumu hakkında herhangi birşey söyleyemeyiz. Eğer parçacığın belli bir bölgede olduğunu biliyorsak, bu bölgede dalga fonksiyonu büyük değerlere sahipken diğer bölgelerde sıfır olmalıdır. Butip bir dalga fonksiyonu pekçok sayıdaki harmonik (cosinüs ve sinüs dalgası) ile ortaya çıkabilir. Bu dalgaların herbiri ise bir eikχ fonksiyonuna karşı gelecektir. Başka bir deyişle böylesine dar bir pik şeklinde ortaya çıkacak dalga fonksiyonu pekçok farklı lineer momentumdaki dalga fonksiyonlarının süper düzenlenmeleri sonucu ortaya çıkabilir (Şekil 1). Şekil 1 : Belirsizlik prensibine göre bir dalganın momentum ve yerindeki belirsizlik. Bu şekilde yönlenmiş sonsuz sayıda fonksiyon kullanılacak olursa, dalga fonksiyonu keskin, sonsuz derecede dar bir pik verir ki bu pik parçacığın yerinin tam olarak belirlenmesi anlamına gelir. Bu durumda parçacık tam olarak lokalize olmuştur fakat momentumunun ne olduğunu söylemeye gelince tam bir problem vardır. Bunun nedeni, ölçeceğimiz momentumun sonsuz sayıdaki dalga fonksiyonlarından birine ait olmasından kaynaklanır. Heisenberg yer ve momentumdaki belirsizlikle ilgili olarak ΔpΔχ≥ˉh/2(Eşitlik6) eşitliğini önerdi. Burada Δp; lineer momentumdaki belirsizlik olup ortalama değerden momentum sapmalarının karelerinin kareköküdür.Δχ ise; esas olarak ortalama pozisyondan pozisyon sapmalarının kareleri kareköküdür. Aslında süperpozisyonun yarı genişliğidir.